Docente/i: Elena Bonetti  

Denominazione del corso: Analisi matematica B (mn)
Codice del corso: 062089
Corso di laurea: Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio, Ingegneria Informatica
Settore scientifico disciplinare: MAT/05
Crediti formativi: CFU 6
Sito web del corso: n.d.

Obiettivi formativi specifici

Il corso si propone di fornire agli studenti alcune nozioni elementari sulle serie e, soprattutto, le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali e vettoriali di più variabili reali. Si insisterà sulla comprensione e sull’assimilazione delle definizioni e dei risultati principali più che sulle dimostrazioni (alcune delle quali, peraltro, verranno svolte in dettaglio). Ampio spazio verrà dato ad esempi e ad esercizi: alla fine del corso, gli studenti dovrebbero essere in grado di svolgere, correttamente e senza esitazioni, calcoli elementari riguardanti serie, derivate parziali o direzionali, integrali multipli o di linea o di superficie, ecc..

Programma del corso

1. Serie
Successioni numeriche; limiti di successioni. Serie numeriche: definizione; prime proprietà ed esempi; serie a termini positivi (criteri di convergenza); convergenza assoluta e convergenza semplice. Cenni sulle serie di potenze in campo reale. Polinomi di Taylor e formule di Taylor. Serie di Taylor; serie di Taylor di alcune funzioni elementari.

2. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali
Funzioni reali di più variabili reali: rappresentazione grafica; limiti e continuità. Derivate parziali e gradienti; derivate direzionali. Differenziabilità; piani tangenti. Derivate di ordine superiore. Derivazione parziale di funzioni composte. Cenni di calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali. Matrici jacobiane. Massimi e minimi di funzioni reali; punti stazionari e loro classificazione.

3. Integrali multipli
Integrali doppi: definizione e proprietà principali; applicazioni alla Geometria e alla Fisica. Calcolo degli integrali doppi: formule di riduzione; cambiamento di variabili. Cenni sugli integrali tripli.

4. Integrali di linea e integrali di superficie
Curve in forma parametrica: definizione; retta tangente; curve rettificabili e lunghezza d’arco. Superfici in forma parametrica: prodotto vettoriale fondamentale e piano tangente; area di una superficie; superfici di rotazione. Integrali di linea rispetto alla lunghezza d’arco. Integrali di linea di campi vettoriali e applicazioni alla Fisica. Campi conservativi e indipendenza dal percorso. Integrali di superficie e applicazioni alla Fisica. Gli operatori rotore e divergenza. Il teorema di Green-Stokes e il teorema della divergenza nel piano. Il teorema di Stokes e il teorema della divergenza nello spazio.

Prerequisiti

I contenuti dei corsi di Analisi Matematica A e di Geometria e Algebra, cioè, in particolare : calcolo differenziale e integrale per funzioni reali di una variabile reale; numeri complessi; geometria analitica del piano e dello spazio; elementi di algebra lineare.

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 30
Esercitazioni (ore/anno in aula): 30
Laboratori (ore/anno in aula): 0
Progetti (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa. MATEMATICA, Calcolo infinitesimale e algebra lineare, seconda edizione. Casa Editrice ZANICHELLI. Al testo sono allegati sue libri di esercizi: Esercizi di Matematica 1 e 2.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame è costituito da una prova scritta (riguardante la risoluzione di esercizi di tipo elementare) e da una prova orale. Le prove devono essere sostenute in uno stesso appello d’esame. Inoltre, è ammesso a sostenere la prova orale solo chi abbia conseguito, nella prova scritta, un punteggio minimo predeterminato. In alternativa alla prova scritta, lo studente può sostenere due prove scritte “in itinere”, la prima svolta verso la metà del corso e la seconda svolta appena dopo la conclusione del corso stesso: anche in questo caso è previsto un punteggio minimo per l’ammissione alla prova orale.