Docente/i: Piero Colli Franzone  

Denominazione del corso: Sistemi dinamici: teoria e metodi numerici
Codice del corso: 064093
Corso di laurea: Ingegneria Biomedica
Settore scientifico disciplinare: MAT/08
Crediti formativi: CFU 5
Sito web del corso: n.d.

Obiettivi formativi specifici

Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base relative ai sistemi di equazioni differenziali ordinarie e alle proprietà qualitative ed al comportamento asintotico delle soluzioni e di sviluppare le problematiche relative ai metodi numerici per la simulazione dei sistemi dinamici.

Programma del corso

Richiamo di conocenze di base
Spazi vettoriali, matrici, autovalori, norme, equazioni differenziali lineari.

Introduzione ai problemi differenziali
Problemi ai valori iniziali (PVI), ai limiti e differenziali-algebrici. Riduzione di un PVI a un sistema differenziale del primo ordine. Sistemi autonomi. Traiettorie, orbite.

Esempi di modelli differenziali
Modelli di reazioni chimiche mono e bi-molecolari. Modelli di reazioni enzimatiche. Modelli di circuiti RLC

Risolubiltà di un problema ai valori iniziali
Esistenza locale di un PVI e prolungamento massimale. Esempi. Unicità, esisitenza globale e dipendenza continua dal dato iniziale. Dipendenza della soluzione da parametri, sistema di sensitività. Formulazione integrale di un PVI

Metodi di approssimazione
Approssimazione di funzioni: interpolazione polinomiale. Integrali: formule di quadratura. Soluzione di sistemi non lineari: metodo delle approssimazioni successive e metodo di Newton.

Introduzione ai metodi numerici per un PVI
Metodi di Eulero esplicito, implicito, del punto medio e del trapezio. Controllo del passo. Problemi stiff. Difficoltà dei metodi espliciti. Esempi.

Stabiltà di sistemi dinamici
Insiemi limite. Stabilità asintotica di una soluzione di un PVI. Stabilità di punti di equilibrio. Dinamiche per sistemi autonomi in dimensione due e classificazione della stabilità. Stabilità dei sistemi autonomi lineari di dimensione n. Sistemi autonomi non lineari e stabilità per linearizzazione. Punti iperbolici. Stabilità con il metodo di Liapunov. Sistemi gradiente. Orbite periodiche e cicli limite.

Struttura e proprietà dei metodi numerici per PVI
Metodi ad un passo: consistenza, stabilità e convergenza. Metodi di Runge-Kutta: costruzione mediante quadrature numeriche e con il metodo di collocazione. Metodi lineari Multistep: ordine, stabilità e convergenza di uno schema. Costruzione dei metodi A-B, A-M e BDF. Stabilità a passo finito. Problema test e regione di stabilità assoluta. Esempi e simulazioni.

Prerequisiti

I corsi di matematica della laurea triennale.

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 28
Esercitazioni (ore/anno in aula): 10
Laboratori (ore/anno in aula): 14
Progetti (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

A.M. Stuart , A.R. Humphries . Dynamical Systems and Numerical Analysis. Cambridge University Press 1998.

M. Crouzeix, A.L. Mignot. Analyse Numeriques des equations Differentielles. Masson, Paris 1984..

Mattheij R., Molenaar J.. Ordinary differential equations in theory and practice. SIAM, Philaelphia,2002.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova orale e verifica con discussione della prova di laboratorio.