Docente/i: Fulvio Bisi  

Denominazione del corso: Geometria e algebra (mn)
Codice del corso: 062085
Corso di laurea: Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio, Ingegneria Informatica
Settore scientifico disciplinare: MAT/03
L'insegnamento costituisce attività di base per: Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio, Ingegneria Informatica
Crediti formativi: CFU 6
Sito web del corso: http://smmm.unipv.it/teaching.html

Obiettivi formativi specifici

Il corso si propone di fornire agli studenti le nozioni e gli strumenti tecnici di base dell’Algebra Lineare e della Geometria Analitica, seguendo un percorso matematico a livello universitario in ambito algebrico e geometrico che conduca lo studente alla padronanza delle basi delle due discipline. Queste possono essere di fondamento sia per un approfondimento a sé stante, sia per l'apprendimento di discipline affini quali l'Analisi Matematica e la Fisica. Lo studio dell’Algebra Lineare verterà precipuamente sugli spazi vettoriali e le loro proprietà, ed è reso più facilmente accessibile privilegiandone l’aspetto computazionale (algebrico, vettoriale, matriciale), costruttivo ed applicativo. In quest’ottica, il programma di Geometria Analitica viene svolto -quando possibile- sfruttando anche gli strumenti propri dell’Algebra Lineare, i cui contenuti specifici sono, a loro volta, presentati come generalizzazioni naturali degli analoghi dell'usuale Algebra Analitica.

Programma del corso

Fondamenti

• Elementi di teoria degli insiemi, relazioni e funzioni.
• Strutture algebriche con particolare riguardo agli insiemi numerici Z, Q, R.
• Numeri complessi: forma algebrica e trigonometrica. Operazioni e struttura di campo.
• Polinomi, equazioni algebriche a coefficienti reali o complessi.
• Geometria analitica nel piano: coordinate cartesiane e polari, rette e coniche dal punto di vista elementare.

Algebra lineare e geometria analitica

• Spazi vettoriali reali e complessi: Sottospazi, Dipendenza ed Indipendenza lineare, Basi e Dimensione. Spazio dei vettori geometrici. Spazi numerici n-dimensionali. Matrici.
• Operatori lineari tra spazi vettoriali: Nucleo, Immagine e Teorema delle dimensioni. Matrici come operatori lineari. Determinante, Rango e Nullità di una matrice. Prodotto tra matrici invertibili e cambiamenti di coordinate.
• Sistemi lineari: teorema di Rouché-Capelli, regola di Cramer, Algoritmi per la risoluzione di sistemi lineari.
• Geometria Analitica Lineare: rette nel piano, rette e piani nello spazio.
• Autovalori ed autovettori di un operatore lineare, di una matrice. Diagonalizzazione; teorema spettrale.
• Prodotto scalare standard nello spazio dei vettori geometrici e sua generalizzazione ad uno spazio vettoriale reale di dimensione n: ortogonalità, norma e costruzione di una base ortonormale. Cenni al caso complesso. Matrici ortogonali e cambiamenti di base ortonormali. Questioni metriche in geometria elementare: cambiamenti di riferimento cartesiani ortonormali, distanza, ortogonalità.
• Rappresentazione analitica di curve e superfici nello spazio, in particolare sfera e cerchio e quadriche di rotazione.
• Forme quadratiche reali: Segnatura, Riduzione a forma canonica. Cenni al caso complesso.
• Classificazione delle coniche. Riduzione a forma canonica dell’equazione di una quadrica.

Tutorato
Nell’ambito del programma di tutorato della Facoltà, saranno previste, ove possibile, attività seminariali ed esercitazioni integrative (complessivamente 20-24 ore), per agevolare gli studenti nel loro percorso di studio e formativo.

Prerequisiti

Quelli richiesti per l’immatricolazione alla Facoltà. In particolare: l'algebra dei monomi e dei polinomi, equazioni di primo e secondo grado, anche con parametri; coordinate cartesiane nel piano, rette e coniche nel piano; trigonometria e goniometria elementare (funzioni goniometriche e principali formule; teoremi sui triangoli rettangoli, teoremi sui triangoli qualunque)

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 30
Esercitazioni (ore/anno in aula): 30
Laboratori (ore/anno in aula): 0
Progetti (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

B. Grieco, M. Zucchetti . Algebra Lineare e Geometria Analitica. ed. La Goliardica Pavese (1997).

Modalità di verifica dell'apprendimento

L’esame è costituito da una prova scritta (riguardante la risoluzione di esercizi di tipo elementare) e da una prova orale. Le prove devono essere sostenute in uno stesso appello d’esame. Inoltre, è ammesso a sostenere la prova orale solo chi abbia conseguito, nella prova scritta, almeno un punteggio minimo predeterminato. In alternativa alla prova scritta e solo per il primo appello d’esame, lo Studente può sostenere due prove scritte “in itinere”, la prima svolta verso la metà del corso e la seconda svolta appena dopo la conclusione del corso stesso: anche in questo caso, è previsto un punteggio minimo per l’ammissione alla prova orale, che si svolgerà con modalità comunicate a fine corso.