Docente/i: Marco Luigi Bernardi   Carlo Lovadina  

Denominazione del corso: Analisi matematica
Codice del corso: 500446
Corso di laurea: Ingegneria Civile e Ambientale
Settore scientifico disciplinare: MAT/05
L'insegnamento costituisce attività di base per: Ingegneria Civile e Ambientale
Crediti formativi: CFU 12
Sito web del corso: n.d.

Obiettivi formativi specifici

Il corso si propone di fornire agli Studenti le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali o vettoriali di una o piu’ variabili reali, della teoria delle serie e qualche nozione su alcune delle piu’ semplici equazioni differenziali ordinarie. Si insistera’ sulla comprensione e sull’ assimilazione delle definizioni e dei risultati principali, piu’ che sulle dimostrazioni (alcune delle quali, peraltro, verranno svolte in dettaglio). Ampio spazio verra’ dato ad esempi e ad esercizi: alla fine del corso, gli Studenti dovrebbero essere in grado di svolgere, correttamente e senza esitazioni, calcoli elementari riguardanti limiti, derivate, studi di funzioni, integrali (anche multipli, curvilinei e di superficie), serie, equazioni differenziali lineari, oltre che possedere, con sicurezza, le principali nozioni teoriche.

Programma del corso

1. Funzioni, limiti e continuita'.
Richiami e complementi sui numeri reali. I numeri complessi. Funzioni: definizioni; grafici; funzioni invertibili; funzioni pari, dispari, periodiche; operazioni sulle funzioni; funzioni composte. Funzioni elementari e loro grafici. Limiti di funzioni : definizioni; operazioni sui limiti. Funzioni continue. Punti di discontinuita’ e loro classificazione. Proprieta’ globali delle funzioni continue.

2. Calcolo differenziale in una variabile reale e applicazioni.
Derivata di una funzione: definizione e proprieta’ ; applicazioni alla Geometria e alla Fisica. Regole di derivazione e calcolo delle derivate. Alcuni teoremi fondamentali del calcolo differenziale. Antiderivate e integrali indefiniti. Derivate successive. Studio di funzioni: massimi e minimi; monotonia; concavita’, convessita’ e flessi. Forme indeterminate e regole di De l’Hopital.

3. Calcolo integrale in una variabile reale e applicazioni .
Integrali definiti: definizione e proprieta’ principali; applicazioni alla Geometria e alla Fisica. Teoremi fondamentali del calcolo integrale. Tecniche di integrazione e calcolo di integrali. Cenni sugli integrali impropri.

4. Serie.
Successioni numeriche; limiti di successioni. Serie numeriche: definizione; prime proprieta’ ed esempi; serie a termini positivi (criteri di convergenza); convergenza assoluta e convergenza semplice. Cenni sulle serie di potenze in campo reale. Polinomi di Taylor e formule di Taylor. Serie di Taylor; serie di Taylor di alcune funzioni elementari.

5. Equazioni differenziali.
Breve introduzione alle equazioni differenziali ordinarie; il problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

6. Calcolo differenziale in piu’ variabili reali.
Funzioni reali di piu’ variabili reali : rappresentazione grafica; limiti e continuita’. Derivate parziali, gradienti e derivate direzionali. Derivate di ordine superiore. Differenziabilita’. Derivazione parziale di funzioni composte. Cenni di calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali. Matrici jacobiane. Estremi relativi liberi di funzioni a valori reali: punti stazionari e loro classificazione.

7. Integrali multipli.
Integrali doppi : definizione e proprieta’ principali; applicazioni alla Geometria e alla Fisica. Calcolo degli integrali doppi : formule di riduzione; cambiamento di variabili; integrali doppi in coordinate polari. Cenni sugli integrali tripli.

8. Integrali di linea e integrali di superficie.
Curve in forma parametrica : definizione ; retta tangente; curve rettificabili e lunghezza d’ arco. Superfici in forma parametrica : prodotto vettoriale fondamentale e piano tangente; area di una superficie. Integrali di linea rispetto alla lunghezza d’ arco. Integrali di linea di campi vettoriali e applicazioni alla Fisica. Campi conservativi, potenziale e indipendenza dal percorso. Gli operatori rotore e divergenza. Integrali di superficie e applicazioni alla Fisica. I teoremi di Green e della divergenza nel piano. I teoremi di Stokes e della divergenza nello spazio.

Prerequisiti

Matematica : quelli richiesti per l’ immatricolazione alla Facolta’ .

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 60
Esercitazioni (ore/anno in aula): 60
Laboratori (ore/anno in aula): 0
Progetti (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa. Matematica. Calcolo infinitesimale e Algebra lineare (seconda edizione). C.E. Zanichelli, Bologna, 2004. (Testo consigliato).

M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa. Analisi matematica 1 (prima edizione) e Analisi Matematica 2 (prima edizione) . C.E. Zanichelli, Bologna, 2008-2009. (Gli Studenti interessati possono far riferimento a questi ultimi due volumi per maggiori approfondimenti e complementi).

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame e’ costituito da una prova scritta (riguardante la risoluzione di esercizi) e da una prova orale (relativa a domande di teoria e, eventualmente, a ulteriori esercizi). Le prove devono essere sostenute in uno stesso appello d’esame. Inoltre, e’ ammesso a sostenere la prova orale solo chi abbia conseguito, nella prova scritta, almeno un punteggio minimo predeterminato. In alternativa alla prova scritta e solo in relazione al primo appello d’ esame di giugno, lo Studente puo’ sostenere due prove scritte “in itinere”, la prima svolta verso la meta’ del corso, alla fine del primo semestre, e la seconda svolta appena dopo la conclusione del corso stesso, alla fine del secondo semestre: anche in questo caso, e’ previsto un punteggio minimo per l’ ammissione alla prova orale.