Docente/i: Elena Bonetti  

Denominazione del corso: Analisi matematica
Codice del corso: 500446
Corso di laurea: Ingegneria Meccatronica , Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio
Settore scientifico disciplinare: MAT/05
Crediti formativi: CFU 12
Sito web del corso: http://www-dimat.unipv.it/bonetti.

Obiettivi formativi specifici

Il corso si propone di trattare gli argomenti dell'analisi matematica fondamentali per un corso di ingegneria quali: il calcolo differenziale e integrale per funzioni di una e piu' variabili a valori reali e vettoriali, il calcolo infinitesimale per le curve, le equazioni differenziali, le serie di potenze. Ci si pone come obiettivi fondamentali la capacita' di acquisire il linguaggio del calcolo differenziale e integrale, l'utilizzo del calcolo differenziale per problemi di ottimizzazione, l'utilizzo del calcolo integrale in problemi di geometria e meccanica, la conoscenza di semplici modelli matematici basati su equazioni differenziali ordinarie, i teoremi di Gauss e di Stokes e la formulazione differenziale di leggi di bilancio della fisica.

Programma del corso

Il programma del corso si struttura in Calcolo differenziale, Calcolo integrale, Equazioni differenziali

Calcolo Differenziale

• Insiemi numerici: I numeri reali, proprieta' e ordinamento
• Funzioni e grafici di funzioni. Funzioni di una variabile reale, esempi.
• Successioni e loro proprieta', successioni monotone, limiti di successioni e calcolo; confronti e stime asintotiche
• Serie numeriche, serie a termini positivi; criteri di convergenza
• Funzioni reali di variabile reale: proprieta', definizione di limite; calcolo dei limiti, confronti e stime asintotiche; funzioni continue e proprieta'
• Funzioni di piu' variabili reali: proprieta', definizione di limite
• Campi vettoriali
• Differenziabilita' (per funzioni reali di variabile reale e per funzioni reali di piu' variabili reali)
• Derivabilita' per funzioni reali di variabile reale
• Derivabilita' parziale e direzionale per funzioni di piu' variabili
• Approssimazione locale (polinomiale) per funzioni regolari (reali di variabile reale e di due variabili reali)
• Serie di potenze e serie di Taylor
• Ottimizzazione: estremi liberi e vincolati (per funzioni reali di variabile reale e di piu' variabili reali)
• Curve, curve regolari, velocita' scalare e velocita' vettoriale, versore tangente
• Superfici, superfici regolari, piano tangenti e versore normale

Calcolo integrale

• ntegrale indefinito e ricerca delle primitive di una funzione reale di variabile reale
• Integrale definito per funzioni reali di variabile reale
• Funzione integrale e sue proprieta', teorema fondamentale del calcolo integrale
• Integrale generalizzato per funzioni reali di variabile reale non limitate o definite su intervalli non limitati
• Integrale definito per funzioni reali di piu' variabili reali
• Integrale curvilineo di I e II specie (applicazioni fisiche) - lunghezza di una curva, parametro d'arco, lavoro di un campo vettoriale
• Integrale di superficie (applicazioni fisiche) - flusso di un campo vettoriale
• Teorema della divergenza e teorema di Stokes, operatori divergenza e rotore (significato fisico) - applicazione alle leggi della fisica (dall'equazione di bilancio alle equazioni alle derivate parziali)
• Campi vettoriali conservativi e potenziali, lavoro di campi vettoriali conservativi

Equazioni differenziali
Equazioni differenziali del I e II ordine; risoluzione di equazioni differenziali lineari del I ordine, a variabili separabili, lineari del II ordine a coefficienti costanti. Problema di Cauchy e studio qualitativo comportamento delle soluzioni.

Prerequisiti

Si considerano i prerequisiti richiesti dalla facolta' per l'iscrizone

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 60
Esercitazioni (ore/anno in aula): 60
Laboratori (ore/anno in aula): 0
Progetti (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

Bramanti, Pagani, Salsa. Matematica, Calcolo infinitesimale e algebra lineare. Ed. Zanichelli.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame finale consiste di una prova scritta e una prova orale. In alternativa alla prova scritta del I appello lo studente puo' svogere la parte scritta in due prove in itinere fissate durante l'anno.