Docente/i: Luisa Donatella Marini  

Denominazione del corso: Metodi numerici per l'ingegneria
Codice del corso: 064069
Corso di laurea: Ingegneria Elettronica
Settore scientifico disciplinare: MAT/08
Crediti formativi: CFU 5
Sito web del corso: n.d.

Obiettivi formativi specifici

Portare gli studenti ad un sufficiente grado di dimestichezza nella classificazione dei problemi e nella scelta degli algoritmi numerici idonei alla loro risoluzione. Introdurre il concetto di stabilità e di condizionamento per problemi ed algoritmi. Fornire i risultati elementari relativi alla convergenza dei processi iterativi e dei metodi di approssimazione. Sviluppare la pratica computazionale matriciale e l'uso individuale delle funzioni di MATLAB.

Programma del corso

Richiami di Algebra lineare

• norme di vettori e matrici, prodotto scalare, autovalori e autovettori, matrici definite positive, a dominanza diagonale, triangolari, tridiagonali

Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti

• Analisi di stabilità: studio del condizionamento di una matrice.
• Il metodo di eliminazione di Gauss e la fattorizzazione LU.
• Aspetti implementativi della fattorizzazione LU e analisi dei costi.
• Matrici simmetriche e definite positive: fattorizzazione di Cholesky.
• Fattorizzazione per matrici tridiagonali.
• (Matrici rettangolari: fattorizzazione QR, metodo di Householder).

Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi

• Metodi iterativi di splitting: i metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e di rilassamento.
• Risultati di convergenza e aspetti implementativi.
• Metodi iterativi di discesa: il metodo del gradiente e del gradiente coniugato. Analisi di convergenza.
• Criteri di arresto: sul controllo dell'incremento e/o del residuo.
• (Precondizionamento di matrici mal condizionate: il metodo del gradiente coniugato precondizionato).

Approssimazione di autovalori e autovettori

• Il metodo delle potenze: calcolo dell'autovalore di modulo massimo e minimo. Analisi di convergenza e dei costi.
• Cenni sui metodi di shifting

Ricerca di radici di equazioni e sistemi non lineari

• Equazioni non lineari: metodi di bisezione, delle corde, delle secanti e di Newton. Convergenza e ordini di convergenza.
• Il metodo delle iterazioni di punto fisso e risultati di convergenza.
• Criteri di arresto.
• Sistemi non lineari: il metodo di Newton e le sue varianti

Approssimazione polinomiale di funzioni e dati

• Interpolazione di Lagrange: errore di interpolazione e limiti dell'interpolazione polinomiale su nodi equispaziati.
• Interpolazione di Hermite e cenni sulle funzioni splines.
• Interpolazione composita di Lagrange.

Integrazione numerica

• Formule di quadratura interpolatorie: formula del punto medio, dei trapezi, di Cavalieri-Simpson e studio dell'errore.
• Formule di Newton-Cotes semplici e composite. Algoritmi di integrazione adattivi.
• Formule gaussiane. Introduzione dei polinomi di Legendre.
• Estensione a 2 dimensioni su domini rettangolari. Formule del baricentro, dei vertici e dei punti medi dei lati per domini triangolari.

Approssimazione di funzioni e dati

• Approssimazione di funzioni nel senso dei minimi quadrati: i polinomi di Legendre e i polinomi trigonometrici di Fourier. (Sviluppi in serie di Fourier, esempi e applicazioni. Cenni sulla FFT.)
• Il metodo dei minimi quadrati per il data fitting: retta di regressione e vari altri esempi.

Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie

• Metodi a un passo: i metodi di Eulero esplicito, di Eulero implicito, dei trapezi, di Heun. Stabilità e A-stabilità, consistenza, convergenza e ordini di convergenza.
• Metodi multistep: i metodi di Adams espliciti e impliciti.
• Metodi predictor-corrector.
• Metodi di Runge-Kutta: derivazione di un metodo di RK esplicito.
• Sistemi di equazioni differenziali ordinarie: i problemi stiff.

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali, numeri complessi, calcolo vettoriale e matriciale.

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 22
Esercitazioni (ore/anno in aula): 30
Attività pratiche (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri. Matematica Numerica (seconda edizione). Springer-Verlag, 2000.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova orale che verterà su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Per accedere alla prova orale lo studente dovrà partecipare attivamente alle esercitazioni di Laboratorio e conseguire una valutazione sufficiente nella relazione svolta. Tale relazione va consegnata entro i termini che saranno stabiliti dal docente durante il corso.