Docente/i: Fulvio Bisi  

Denominazione del corso: Geometria e algebra
Codice del corso: 500473
Corso di laurea: Ingegneria Meccatronica, Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio
Settore scientifico disciplinare: MAT/03
Crediti formativi: CFU 6
Sito web del corso: http://smmm.unipv.it/teaching.html

Obiettivi formativi specifici

Il corso si propone di fornire agli studenti le nozioni e gli strumenti tecnici di base dell’Algebra Lineare e della Geometria Analitica, seguendo un percorso matematico a livello universitario in ambito algebrico e geometrico che conduca lo studente alla padronanza delle basi delle due discipline. Queste possono essere di fondamento sia per un approfondimento a sé stante, sia per l'apprendimento di discipline affini quali l'Analisi Matematica e la Fisica. Lo studio dell’Algebra Lineare verterà precipuamente sugli spazi vettoriali e le loro proprietà, ed è reso più facilmente accessibile privilegiandone l’aspetto computazionale (algebrico, vettoriale, matriciale), costruttivo ed applicativo. In quest’ottica, il programma di Geometria Analitica viene svolto -quando possibile- sfruttando anche gli strumenti propri dell’Algebra Lineare, i cui contenuti specifici sono, a loro volta, presentati come generalizzazioni naturali degli analoghi dell'usuale Algebra Analitica.

Programma del corso

In generale, gli argomenti vengono presentati sviluppando l'aspetto teorico e quello applicativo, nello sforzo di mostrare come questi siano in realta' compenetranti fra loro. Una buona parte del corso si dedichera' alla risoluzione di problemi; alcune dimostrazioni vengono scelte per il loro carattere formativo nell'approccio alla materia. Gli argomenti elencati verranno sviluppati seguendo un ordine che consente di fruire delle interconnessioni fra le due discipline presentate.

Fondamenti
Vengono richiamati gli argomenti di matematica elementare e poste le basi per un linguaggio comune nell'ambito della disciplina.

• Elementi di teoria degli insiemi, relazioni e funzioni.
• Strutture algebriche con particolare riguardo agli insiemi numerici Z, Q, R.
• Numeri complessi: forma algebrica e trigonometrica. Operazioni e struttura di campo.
• Polinomi, equazioni algebriche a coefficienti reali o complessi.
• Geometria analitica nel piano: coordinate cartesiane e polari, rette e coniche dal punto di vista elementare.

Algebra lineare
Vengono presentati gli argomenti di base dell'algebra lineare, riconducendo i concetti astratti a esempi e situazioni, che ricostruiscono la genesi storica della disciplina.

• Spazi vettoriali reali e complessi: Sottospazi, Dipendenza ed Indipendenza lineare, Basi e Dimensione. Spazio dei vettori geometrici. Spazi numerici n-dimensionali. Matrici.
• Operatori lineari tra spazi vettoriali: Nucleo, Immagine e Teorema delle dimensioni. Matrici come operatori lineari. Determinante, Rango e Nullità di una matrice. Prodotto tra matrici invertibili e cambiamenti di coordinate.
• Sistemi lineari: teorema di Rouché-Capelli, regola di Cramer, Algoritmi per la risoluzione di sistemi lineari.
• Autovalori ed autovettori di un operatore lineare, di una matrice. Diagonalizzazione; teorema spettrale.
• Prodotto scalare standard nello spazio dei vettori geometrici e sua generalizzazione ad uno spazio vettoriale reale di dimensione n: ortogonalità, norma e costruzione di una base ortonormale. Cenni al caso complesso. Matrici ortogonali e cambiamenti di base ortonormali.

Geometria analitica
I concetti della geometria analitica piana vengono estesi e sviluppati per lo spazio tridimensionale.

• Geometria Analitica Lineare: rette nel piano, rette e piani nello spazio.
• Questioni metriche in geometria elementare: cambiamenti di riferimento cartesiani ortonormali, distanza, ortogonalità.
• Rappresentazione analitica di curve e superfici nello spazio, in particolare sfera e cerchio e quadriche di rotazione.
• Forme quadratiche reali: Segnatura, Riduzione a forma canonica. Cenni al caso complesso.
• Classificazione delle coniche. Riduzione a forma canonica dell’equazione di una quadrica.

Tutorato
Nell’ambito del programma di tutorato della Facoltà, saranno previste, ove possibile e in presenza di collaboratori disponibili, attività seminariali ed esercitazioni integrative (per un totale complessivo massimo di 24 ore), per agevolare gli studenti nel loro percorso di studio e formativo.

Prerequisiti

Quelli richiesti per l’immatricolazione alla Facoltà. In particolare: l'algebra dei monomi e dei polinomi, equazionie disequazioni di primo e secondo grado, razionali, anche con parametri; coordinate cartesiane nel piano, rette e coniche nel piano; trigonometria e goniometria elementare (funzioni goniometriche e principali formule; teoremi sui triangoli rettangoli, teoremi sui triangoli qualunque).

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 30
Esercitazioni (ore/anno in aula): 30
Attività pratiche (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

B. Grieco, M. Zucchetti. Algebra Lineare e Geometria Analitica.. ed. La Goliardica Pavese (1997). .

Marco Abate, Chiara de Fabritiis. Geometria analitica con elementi di algebra lineare.. McGraw-Hill Italia (2006).

Modalità di verifica dell'apprendimento

L’esame è costituito da una prova scritta (riguardante la risoluzione di esercizi di tipo elementare) e da una prova orale. Le prove devono essere sostenute in una stessa sessione d’esame. Inoltre, è ammesso a sostenere la prova orale solo chi abbia conseguito, nella prova scritta, almeno un punteggio minimo predeterminato.