Docente/i: Ugo Pietro Gianazza  

Denominazione del corso: Metodi matematici
Codice del corso: 500541
Corso di laurea: Ingegneria Meccatronica
Settore scientifico disciplinare: MAT/05
Crediti formativi: CFU 6
Sito web del corso: http://www.imati.cnr.it/~gianazza/metodi.html

Obiettivi formativi specifici

L’insegnamento si propone di introdurre alcuni dei principali metodi matematici, di tipo analitico, nonché di fornire allo studente utili strumenti operativi per le applicazioni alla teoria dei segnali ed ai problemi di ottimizzazione. Obiettivi principali sono: i) portare lo studente ad utilizzare con dimestichezza le principali funzioni di variabile complessa e fornire le nozioni elementari della corrispondente teoria; ii) introdurre il concetto di convergenza di successioni e serie di funzioni e presentare i risultati fondamentali riguardanti le serie di Fourier e le trasformate di Fourier e di Laplace; iii) illustrare alcune tecniche ed applicazioni di tali trasformate, in particolare a semplici problemi differenziali.

Programma del corso

Il linguaggio dei segnali

• Segnali continui e discreti.
• Operazioni elementari sui segnali: somma e combinazione lineari di segnali, traslazioni e riscalamenti.
• Prodotti scalari e norme.

Serie di Fourier

• Segnali periodici, polinomi trigonometrici, serie di Fourier, confronto tra forma trigonometrica ed esponenziale
• Convergenza puntuale ed uniforme, applicazioni alla somma di serie numeriche, il fenomeno di Gibbs
• Il problema della migliore approssimazione e della convergenza in energia
• Uguaglianza di Parseval ed applicazione alla somma di serie numeriche
• Applicazioni della serie di Fourier a semplici sistemi dinamici.

Trasformata di Fourier per le funzioni integrabili

• Definizione della trasformata di Fourier, proprietà fondamentali, legami con le serie di Fourier
• Il lemma di Riemann-Lebesgue, esempi di calcolo
• La trasformata dei segnali ad energia finita e l'identità di Plancherel
• Il teorema di inversione
• Il teorema di campionamento
• Il teorema di indeterminazione.

Introduzione all'Analisi Complessa

• Richiami sui numeri complessi
• Serie di potenze in campo complesso: raggio di convergenza e formule per la sua determinazione
• Funzioni esponenziali e trigonometriche, radici e logaritmi
• Derivate in senso complesso e funzioni olomorfe, olomorfismo delle serie di potenze
• Integrali di linea in campo complesso
• Teorema di Cauchy, analiticità delle funzioni olomorfe
• Singolarità e sviluppi di Laurent, Teorema dei residui
• Applicazioni al calcolo degli integrali, lemma di Jordan.

Trasformata di Laplace

• Definizione, principali proprietà, esempi di calcolo
• Legami con la trasformata di Fourier
• Inversione della trasformata di Laplace, formula di Heaviside.

Convoluzione

• Definizione e principali proprietà, esempi di calcolo
• Teorema dei filtri
• Legami con le trasformate di Fourier e di Laplace
• Applicazioni a problemi differenziali ed integrodifferenziali.

Trasformata Z

• Definizione e principali proprietà, esempi di calcolo
• Applicazioni a problemi alle differenze.

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali, successioni e serie numeriche, numeri complessi, coordinate polari, calcolo vettoriale e matriciale, principali operatori differenziali e relative proprietà.

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 38
Esercitazioni (ore/anno in aula): 14
Attività pratiche (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

M. Codegone. Metodi Matematici per l'Ingegneria. Zanichelli.

F. Tomarelli. Esercizi di Metodi Matematici per l'Ingegneria. CLU.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta e in una prova orale, condizionata all'esito dello scritto. Le prove devono svolgersi nel medesimo appello.