Docente/i: Elena Bonetti   Ugo Pietro Gianazza  

Denominazione del corso: Modelli matematici e calcolo numerico
Codice del corso: 502558
Corso di laurea: Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio
Settore scientifico disciplinare: MAT/08 MAT/05
L'insegnamento costituisce attività di base per: Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio
Crediti formativi: CFU 9
Sito web del corso: http://www.imati.cnr.it/~gianazza/mod_calc.html

Obiettivi formativi specifici

Lo scopo del corso e' duplice. Da un lato si vuole mettere in grado lo studente di costruire semplici modelli matematici di alcuni fenomeni fisici interessanti per le applicazioni ingegneristiche; dall'altro si vuole portare lo studente ad un sufficiente grado di competenza nella applicazione di algoritmi numerici idonei alla risoluzione di tali modelli.

Programma del corso

I primi sei argomenti si riferiscono alla parte del corso dedicata all'Analisi Numerica, mentre i restanti argomenti riguardano la modellizzazione e l'Analisi Matematica.

Ricerca di radici di equazioni e sistemi non lineari

• Equazioni non lineari: metodi di bisezione e di Newton. Convergenza e ordini di convergenza.
• Il metodo delle iterazioni di punto fisso e risultati di convergenza.
• Criteri di arresto.

Approssimazione di funzioni e dati

• Interpolazione semplice e composita di Lagrange.
• Il metodo dei minimi quadrati per il data fitting: retta di regressione e vari altri esempi.

Derivazione ed integrazione numerica

• Approssimazione della derivata di una funzione.
• Formule di quadratura: formule di Newton-Cotes semplici e composite.

Risoluzione di sistemi lineari con metodi diretti

• Condizionamento di una matrice.
• Il metodo di eliminazione di Gauss e la fattorizzazione LU.
• Aspetti implementativi della fattorizzazione LU e analisi dei costi.
• Matrici simmetriche e definite positive: fattorizzazione di Cholesky.

Risoluzione di sistemi lineari con metodi iterativi

• I metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel e di rilassamento.
• Risultati di convergenza e aspetti implementativi.
• Criteri di arresto: sul controllo dell'incremento e/o del residuo.

Risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie

• Metodi a un passo e a più passi.
• Stabilità e A-stabilità, consistenza, convergenza e ordini di convergenza. Aspetti computazionali.

Modelli differenziali

• Introduzione.
• Problemi ben posti.
• Formule di integrazione per parti.

Richiami su equazioni differenziali ordinarie

• Il problema di Cauchy.
• Sistemi differenziali lineari e non lineari.
• Sistemi autonomi.
• Comportamento asintotico, punti di equilibrio.
• Stabilita' alla Liaponouv.

Equazioni alle derivate parziali (del II ordine )

• Fenomeni di diffusione: l'equazione del calore
• Equazione di Laplace
• Onde e vibrazioni: equazione delle onde
• Equazione di Navier-Stokes

Metodi di analisi funzionale per equazioni differenziali

• Spazi di Hilbert.
• Operatori e funzionali lineari.
• Formulazione debole di problemi stazionari e evolutivi.

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali, numeri complessi, calcolo vettoriale e matriciale.

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 52
Esercitazioni (ore/anno in aula): 31
Attività pratiche (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

Appunti del docente .

A. Quarteroni, F. Saleri. Calcolo Scientifico - IV Edizione. Springer-Verlag Italia, Milano 2008.

S. Salsa, F.M.G. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino. Invito alle equazioni alle derivate parziali – Metodi, modelli e simulazioni. Springer-Verlag, Milano, 2009.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova scritta seguita da una prova orale, condizionata dal risultato ottenuto nella prova scritta.