Docente/i: Giuseppe Savarè  

Denominazione del corso: Modelli e metodi matematici
Codice del corso: 502949
Corso di laurea: Ingegneria Elettronica
Settore scientifico disciplinare: MAT/05
Crediti formativi: CFU 9
Sito web del corso: http://www.imati.cnr.it/~savare/didattica/modellimetodi

Obiettivi formativi specifici

Il corso si propone di fornire allo studente il linguaggio preliminare e le nozioni elementari dell'analisi funzionale lineare (spazi di Hilbert e distribuzioni), dei principii variazionali, delle equazioni differenziali e dei sistemi dinamici nonché semplici esempi e applicazioni allo studio di alcune equazioni alle derivate parziali particolarmente significative (Laplace, onde, trasporto)

Programma del corso

Gli argomenti segnalati da un asterisco (✵) verrano svolti in funzione del tempo a disposizione e dell'interesse dell'uditorio.

Conoscenze di base da richiamare ed approfondire

• Spazi vettoriali e matrici
• Autovalori ed autovettori.

Equazioni differenziali ordinarie

• Definizione generale di equazione e sistema differenziale in forma normale
• Teoremi di esistenza ed unicitą in piccolo e in grande, teoremi di confronto.
• Sistemi ed equazioni differenziali lineari: struttura della soluzione, matrice esponenziale, metodo della variazione delle costanti arbitrarie, Teorema di Liouville
• Cenni al comportamento asintotico dei sistemi dinamici, stabilitą, funzioni di Lyapunov (✵)

Introduzione ai problemi in cui le incognite sono funzioni

• Spazi funzionali vettoriali
• Spazi normati
• Spazi di Hilbert
• Teorema delle proiezione, problema della migliore approssimazione e minimi quadrati
• Basi ortonormali negli spazi di Hilbert, applicazioni all'analisi dei segnali
• Operatori lineari, limitatezza e continuitą, operatori aggiunti, simmetrici ed autoaggiunti, autofunzioni e autovaori. Applicazioni alla risoluzione dei problemi ai limiti (✵)

Introduzione alle equazioni alle derivate parziali

• Esempi di alcuni fenomeni modellizzati da equazioni alle derivate parziali
• L'equazione di trasporto
• Leggi di conservazione lineare
• L'equazione delle onde: formula di D'Alambert in una dimensione, caratteristiche e principio di riflessione per le condizioni ai limiti, sviluppo in serie di autofunzioni, onde sferiche e soluzione nello spazio.
• L'equazione di Laplace, principi variazionali (✵)
• Soluzioni particolari, separazione di variabili, uso delle trasformate
• Qualche esempio di equazione nonlineare (✵)

Distribuzioni

• Introduzione al concetto di distribuzione, esempi e applicazioni. Principali operazioni sulle distribuzioni, convergenza e serie.
• Traformate di Fourier distribuzionali, Distribuzioni temperate, estensione delle trasformate di Fourier alle distribuzioni, principali proprietą e legame con le serie di Fourier.
• Convoluzione: principali proprietą e l'estensione alle distribuzioni, equazioni di convoluzione e soluzione fondamentale.
• Rappresentazione distribuzionale dei segnali discreti, il teorema del campionamento, DFT, filtri digitali e equazioni alle differenze, trasformata di Laplace di segnali discreti e trasformata Z (✵)

Prerequisiti

I corsi di matematica della laurea triennale; in particolare: calcolo differenziale e integrale per funzioni reali, successioni e serie numeriche, numeri complessi, funzioni olomorfe, calcolo integrale con il metodo dei residui, coordinate polari, calcolo vettoriale e matriciale, principali operatori differenziali in più variabili e relative proprietà, serie di potenze e di Fourier, trasformate di Fourier e Laplace in ambito classico, equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del primo e secondo ordine.

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 50
Esercitazioni (ore/anno in aula): 30
Attività pratiche (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

M.W.Hirsch, S. Smale. Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press, 1974. (Alcuni capitoli iniziali per la parte relativa alle equazioni differenziali).

H. Ricardo. A modern introduction to differential equations. Elsevier. (Per la parte di equazioni differenziali; è un testo più semplice del precedente).

S. Salsa. Partial Differential Equations in Action. Springer. (Alcuni capitoli, per la parte relativa alle equazioni alle derivate parziali).

W. Strauss. Partial Differential Equations: an introduction. Wiley. (Alcuni capitoli per la parte relativa alle equazioni alle derivate parziali, in alternativa al testo di Salsa).

C. Gasquet, P. Witomski. Fourier Analysis and Applications. Filtering, Numerical Computation, Wavelets. Springer. (Alcuni capitoli, per la parte relativa alle distribuzioni e agli spazi di Hilbert).

Titolo del riferimento da modificare.

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova scritta finale e prova orale condizionata al risultato della prova scritta.