Docente/i: Piero Colli Franzone   Matteo Negri   Giuseppe Savarè  

Denominazione del corso: Metodi Matematici Per L'Ingegneria()
Codice del corso: 502461
Corso di laurea: Bioingegneria
Sede: Pavia
Settore scientifico disciplinare: MAT/05
L'insegnamento costituisce attività di base per: Bioingegneria
Crediti formativi: CFU 9
Sito web del corso: n.d.

Obiettivi formativi specifici

Il corso si propone di fornire allo studente i principali strumenti matematici legati al trattamento dei segnali, sia continui che discreti, e ai problemi di ottimizzazione. A tal fine il corso è suddiviso in due moduli.
Dopo aver seguito il modulo di METODI MATEMATICI (6CFU) lo studente deve essere in grado utilizzare con dimestichezza le principali funzioni di variabile complessa e conoscere le nozioni elementari della corrispondente teoria; comprendere il concetto di segnale, a tempo continuo e discreto, le operazioni e trasformazioni elementari, la convergenza di successioni e serie di segnali, la convoluzione; conoscere i risultati fondamentali riguardanti le serie di Fourier e le trasformate di Fourier, di Laplace e Zeta; svolgere calcoli elementari mediante tali trasformate e di applicarli a semplici problemi differenziali.
Il secondo modulo, TRASFORMATE DISCRETE E OTTIMIZZAZIONE (3CFU) fornisce le nozioni e i metodi basilari dell'ottimizzazione, sia libera che vincolata e le tecniche di analisi dei segnali discreti (DFT, FFT, convoluzione) con semplici applicazioni alle equazioni alle differenze e all'approssimazione numerica di filtri continui.

Programma del corso

Introduzione all'Analisi Complessa

• Richiami sui numeri complessi
• Serie di potenze in campo complesso: raggio di convergenza e formule per la sua determinazione
• Funzioni esponenziali e trigonometriche, radici e logaritmi
• Derivate in senso complesso e funzioni olomorfe, olomorfismo delle serie di potenze
• Integrali di linea in campo complesso
• Teorema di Cauchy, analiticitą delle funzioni olomorfe
• Singolaritą e sviluppi di Laurent, Teorema dei residui
• Applicazioni al calcolo degli integrali, lemma di Jordan.

Il linguaggio dei segnali

• Segnali continui e discreti
• Operazioni elementari sui segnali: somma e combinazione lineari di segnali, traslazioni e riscalamenti.
• Prodotti scalari e norme

Trasformata Z

• Definizione e principali proprietą, esempi di calcolo
• Applicazioni a problemi alle differenze.

Serie di Fourier

• Segnali periodici, polinomi trigonometrici, serie di Fourier, confronto tra forma trigonometrica ed esponenziale
• Convergenza puntuale ed uniforme, applicazioni alla somma di serie numeriche, il fenomeno di Gibbs
• Il problema della migliore approssimazione e della convergenza in energia
• Uguaglianza di Parseval ed applicazione alla somma di serie numeriche
• Applicazioni della serie di Fourier a semplici sistemi dinamici.

Trasformata di Fourier di segnali integrabili

• Definizione della trasformata di Fourier, proprietą fondamentali, legami con le serie di Fourier
• Il lemma di Riemann-Lebesgue, esempi di calcolo
• La trasformata dei segnali ad energia finita e l'identitą di Plancherel
• Il teorema di inversione

Trasformata di Laplace

• Definizione, principali proprietą, esempi di calcolo
• Legami con la trasformata di Fourier
• Inversione della trasformata di Laplace, formula di Heaviside.

Convoluzione

• Definizione e principali proprietą, esempi di calcolo
• Legami con le trasformate di Fourier e di Laplace
• Applicazioni a problemi differenziali ed integrodifferenziali.

Probemi di ottimizzazione

• Problemi liberi:
  - metodo del gradiente e ricerche lineari
  - metodi Newtoniani: trust region,quasi-Newton e Gauss-Newton per problemi ai minimi quadrati
• Problemi vincolati:
  - Condizioni di ottimalitą, metodo di penalizzazione e metodo SQP

Trasformate discrete

• Discrete Fourier transform (DFT)
• Algoritmi di calcolo rapido (FFT)
• Convoluzione discreta
• Applicazioni a problemi alle differenze e all'approssimazione, stabilitą

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale per funzioni reali, successioni e serie numeriche, numeri complessi, coordinate polari, calcolo vettoriale e matriciale, principali operatori differenziali e relative proprietà.

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 68
Esercitazioni (ore/anno in aula): 0
Attività pratiche (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

M. Codegone. Metodi Matematici per l'Ingegneria. Zanichelli.

M. Giaquinta, G. Modica. Note di Metodi Matematici per Ingegneria Informatica. Pitagora, Bologna.

F. Tomarelli. Esercizi di Metodi Matematici per l'Ingegneria. CLU.

G. Savaré. Dispense del corso. Reperibili on-line sul sito web del corso.

Matlab Optimization and Signal Proccessing Toolbox. User's guide. The MathWorks Inc..

F.J. Bonnan, C.J. Gilbert, C. Lemarechal C, C.A. Sagastizabal. Numerical Optimization. Theoretical and practical aspects. Springer Verlag (Universitext), 2006. Second edition.

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame consiste in una prova scritta, in una prova di laboratorio e in una prova orale, condizionata all'esito dello scritto, da svolgersi nel medesimo appello.