Docente/i: Piero Colli Franzone   Giancarlo Sangalli  

Denominazione del corso: Modelli differenziali: metodi numerici e applicazioni
Codice del corso: 504011
Corso di laurea: Bioingegneria
Sede: Pavia
Settore scientifico disciplinare: MAT/08
L'insegnamento è affine per: Bioingegneria
Crediti formativi: CFU 9
Sito web del corso: n.d.

Obiettivi formativi specifici

L’insegnamento si compone di due moduli: Sistemi dinamici: teoria e metodi numerici ( 6 crediti) e Metodi agli elementi finiti e applicazioni (3 crediti).

Sistemi dinamici: teoria e metodi numerici.

Il modulo si propone di fornire allo studente le nozioni di base relative alle proprietà qualitative ed al comportamento asintotico delle soluzioni di sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Si svilupperanno i principali metodi numerici per la simulazione di sistemi dinamici in modo che lo studente acquisisca le competenze necessarie per un loro utilizzo critico nella simulazione quantitativa di sistemi dinamici. Lo studente applicherà gli strumenti analitici e numerici all’analisi di alcuni tipici modelli relativi alla dinamica delle popolazioni, ai sistemi bistabili ed alla dinamica di oscillatori.

Metodi degli elementi finiti e applicazioni.

L’obiettivo del modulo è duplice: da una parte si fornirà agli studenti una conoscenza di base del Metodo degli Elementi Finiti e dei suoi fondamenti teorici; dall'altra lo studente acquisira` le competenze per l'implementazione in linguaggio MATLAB di un codice per la soluzione numerica di problemi ellittici in due dimensioni

Programma del corso

SISTEMI DINAMICI: teoria e metodi numerici

Richiamo di nozioni di base
Spazi vettoriali, matrici, autovalori, equazioni differenziali lineari, calcolo differenziale, integrale e sviluppo di Taylor.

Introduzione ai problemi differenziali
Problemi ai valori iniziali (PVI), PVI in forma normale, probleimi ai limiti e differenziali-algebrici. Riduzione di un PVI ad un sistemi differenziale del primo ordine. Sistemi autonomi. Traiettorie, orbite. Risolubilitá di un problema ai valori iniziali . Esistenza locale di un PVI e prolungamento massimale. Esempi. Unicita`, esitenza globale e dipendenza continua dal dato iniziale. Dipendenza continua della soluzione dai paarmetri, sistema di sensitivita`. Formulazione integrale di un PVI.

Stabilita` asintotica
Stabilita` asintotica di una soluzione di un PVI. Stabilita` di punti di equilibrio. Sistemi lineari. Stabilita` di sistemi autonomi. Sistemi autonomi non lineari: stabilita` per linearizzazione. Punti iperbolici. Funzioni di Liapunov e stabilita`. Traiettorie periodiche e cicli limite. Sistemi autonomi di dimensione due:classificazione stabilita` punti di equilibrio e struttura orbite.

Nozioni di base di analisi numerica
Interpolazione polinomiale, formule di quadratura, metodo delle approssimazioni successive e metodo di Newton

Metodi numerici per sistemi di equazioni differenziali ordinarie
Metodi ad un passo e metodi lineari Multistep: ordine, convergenza e stabilita`. Metodi di Runge-Kutta basti su quadrature o sul metodo di collocazione. Costruzione metodi multistep di: Adams Bashforth , Moulton , Predictor-Corrector e Backwords Differentiation Formulae (BDF). Stima dell'errore locale di discretizzazione e strategia adattativa per il controllo del passo di integrazione.

Introduzione alla teoria della biforcazione relativa a punti di equilibrio ed a cicli limite

Analisi e simulazione di sistemi dinamici: modelli di tipo Lotka-Volterra , modelli bistabili di FitzHigh-Nagumo.

METODO DEGLI ELEMENTI FINITI E APPLICAZIONI

Richiami di analisi funzionale: Spazi di Sobolev e loro proprieta`; Formulazione variazionale dei problemi ellittici (Poisson)

Metodo di Ritz-Galerkin
Mesh in una e piu` dimensioni - Alcuni esempi di elementi finiti - Proprieta` di approssimazione - Stime di errore per problemi ellittici del secondo ordine

Implementazione in linguaggio MATLAB
Implementazione del metodo degli elementi finiti per la soluzione del problema di Poisson bidimensionale: assemblaggio della matrice del sistema lineare, quadratura numerica, soluzione del sistema lineare. Raffinamento locale della mesh. Cenni sulla stima a posteriori dell'errore e sull'adattivita`.

Prerequisiti

Calcolo differenziale e integrale per funzioni di piu` variabili, numeri complessi, calcolo vettoriale e matriciale. Programmazione in linguaggio MATLAB

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 44
Esercitazioni (ore/anno in aula): 57
Attività pratiche (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

F. Verhulst. Nonlinear differential equations and dynamical systems. Springer-Verlag,Heidelberg, 2006..

R. Mattheij, J. Molenaar.. Ordinary differential equations in theory and practice.. SIAM, Philadelphia, 2002..

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri.. Matematica Numerica. Springer 3ra ed., 2008..

M. Crouzeix, A.L. Mignot.. Analyse Numeriques des Equations Differentielles.. Masson, Paris 1984..

A.M. Stuart , A.R. Humphries. . Dynamical Systems and Numerical Analysis.. Cambridge University Press 1998..

Quarteroni A.. Modellistica numerica per problemi differenziali. Springer Verlag, 2009.

Braess D.. Finite Elements. Theory, Fast Solvers, and Applications in Solid Mechanics.. Cambridge University Press..

Modalità di verifica dell'apprendimento

Modulo di Sistemi Dinamici.Esame orale sugli arogomenti del programma dettagliato. Discussione ed interpretazione dei risultati delle esercitazioni e delle simulazioni sviluppate in laboratorio. Modulo di Elementi Finiti. Prova orale che vertera` su tutti gli argomenti trattati durante il corso. Per accedere alla prova orale lo studente dovra` partecipare attivamente alle esercitazioni di Laboratorio e conseguire una valutazione sufficiente nella relazione svolta. Tale relazione va consegnata entro i termini che saranno stabiliti dal docente durante il corso.