Docente/i: Giuseppe Savarè  

Denominazione del corso: Advanced mathematical methods for engineers
Codice del corso: 504434
Corso di laurea: Electronic Engineering
Sede: Pavia
Settore scientifico disciplinare: MAT/05
L'insegnamento è affine per: Electronic Engineering
Crediti formativi: CFU 9
Sito web del corso: http://www.imati.cnr.it/savare/didattica/AdvancedMathMe
tEng

Obiettivi formativi specifici

Il corso si propone di fornire allo studente il linguaggio preliminare e le nozioni elementari dell'analisi funzionale lineare (spazi di Hilbert e distribuzioni), dei principii variazionali, delle equazioni differenziali e dei sistemi dinamici nonché semplici esempi e applicazioni allo studio di alcune equazioni alle derivate parziali particolarmente significative (Laplace, onde, trasporto)

Programma del corso

Equazioni differenziali ordinarie

• Equazioni e sistemi differenziali in forma normale: Teoremi di esistenza ed unicitą in piccolo e in grande, teoremi di confronto.
• Sistemi ed equazioni differenziali lineari: struttura della soluzione, matrice esponenziale, metodo della variazione delle costanti arbitrarie, Teorema di Liouville
• Cenni al comportamento asintotico dei sistemi dinamici, stabilitą.

Introduzione ai problemi in cui le incognite sono funzioni

• Spazi funzionali vettoriali, norme, spazi di Hilbert.
• Basi ortonormali negli spazi di Hilbert
• Operatori lineari, limitatezza e continuitą, operatori aggiunti, simmetrici ed autoaggiunti, autofunzioni e autovaori. Applicazioni alla risoluzione dei problemi ai limiti

Introduzione alle equazioni alle derivate parziali

• Esempi di alcuni fenomeni modellizzati da equazioni alle derivate parziali
• L'equazione di trasporto
• L'equazione delle onde: formula di D'Alambert in una dimensione, caratteristiche e principio di riflessione per le condizioni ai limiti, sviluppo in serie di autofunzioni, onde sferiche e soluzione nello spazio.
• L'equazione di Laplace, principi variazionali
• Soluzioni particolari, separazione di variabili, uso delle trasformate

Distribuzioni

• Introduzione al concetto di distribuzione, esempi e applicazioni. Principali operazioni sulle distribuzioni, convergenza e serie.
• Traformate di Fourier distribuzionali, Distribuzioni temperate, estensione delle trasformate di Fourier alle distribuzioni, principali proprietą e legame con le serie di Fourier.
• Convoluzione: principali proprietą e l'estensione alle distribuzioni, equazioni di convoluzione e soluzione fondamentale.
• Rappresentazione distribuzionale dei segnali discreti, il teorema del campionamento,

Prerequisiti

I corsi di matematica della laurea triennale; in particolare: calcolo differenziale e integrale per funzioni reali, successioni e serie numeriche, numeri complessi, funzioni olomorfe, calcolo integrale con il metodo dei residui, coordinate polari, calcolo vettoriale e matriciale, principali operatori differenziali in più variabili e relative proprietà, serie di potenze e di Fourier, trasformate di Fourier e Laplace in ambito classico, equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti del primo e secondo ordine.

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 54
Esercitazioni (ore/anno in aula): 27
Attività pratiche (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

M.W.Hirsch, S. Smale. Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press, 1974. (Alcuni capitoli iniziali per la parte relativa alle equazioni differenziali)..

S. Salsa. Partial Differential Equations in Action. Springer. (Alcuni capitoli, per la parte relativa alle equazioni alle derivate parziali)..

W. Strauss. Partial Differential Equations: an introduction. Wiley. (Alcuni capitoli per la parte relativa alle equazioni alle derivate parziali, in alternativa al testo di Salsa)..

C. Gasquet, P. Witomski. Fourier Analysis and Applications. Filtering, Numerical Computation, Wavelets. Springer. (Alcuni capitoli, per la parte relativa alle distribuzioni).

Modalità di verifica dell'apprendimento

Prova scritta finale e prova orale condizionata al risultato della prova scritta.