Docente/i: Carlo Lovadina   Giancarlo Sangalli  

Denominazione del corso: Analisi matematica
Codice del corso: 500446
Corso di laurea: Ingegneria Civile e Ambientale
Sede: Pavia
Settore scientifico disciplinare: MAT/05
L'insegnamento costituisce attività di base per: Ingegneria Civile e Ambientale
Crediti formativi: CFU 12
Sito web del corso: http://www-dimat.unipv.it/sangalli/analisi_matematica.h
tml

Obiettivi formativi specifici

Il corso si propone di fornire agli Studenti le conoscenze di base del calcolo differenziale e integrale per le funzioni reali o vettoriali di una o piu’ variabili reali, della teoria delle serie e qualche nozione su alcune delle piu’ semplici equazioni differenziali ordinarie. Si insistera’ sulla comprensione e sull’ assimilazione delle definizioni e dei risultati principali, piu’ che sulle dimostrazioni (alcune delle quali, peraltro, verranno svolte in dettaglio). Ampio spazio verra’ dato ad esempi e ad esercizi: alla fine del corso, gli Studenti dovrebbero essere in grado di svolgere, correttamente e senza esitazioni, calcoli elementari riguardanti limiti, derivate, studi di funzioni, integrali (anche multipli, curvilinei e di superficie), serie, equazioni differenziali lineari, oltre che possedere, con sicurezza, le principali nozioni teoriche.

Programma del corso

1. Funzioni, limiti e continuita'.
Richiami e complementi sui numeri reali. I numeri complessi. Funzioni: definizioni; grafici; funzioni invertibili; funzioni pari, dispari, periodiche; operazioni sulle funzioni; funzioni composte. Funzioni elementari e loro grafici. Limiti di funzioni : definizioni; operazioni sui limiti. Funzioni continue. Punti di discontinuita’ e loro classificazione. Proprieta’ globali delle funzioni continue.

2. Calcolo differenziale in una variabile reale e applicazioni.
Derivata di una funzione: definizione e proprieta’ ; applicazioni alla Geometria e alla Fisica. Regole di derivazione e calcolo delle derivate. Alcuni teoremi fondamentali del calcolo differenziale. Antiderivate e integrali indefiniti. Derivate successive. Studio di funzioni: massimi e minimi; monotonia; concavita’, convessita’ e flessi. Forme indeterminate e regole di De l’Hopital.

3. Calcolo integrale in una variabile reale e applicazioni .
Integrali definiti: definizione e proprieta’ principali; applicazioni alla Geometria e alla Fisica. Teoremi fondamentali del calcolo integrale. Tecniche di integrazione e calcolo di integrali. Cenni sugli integrali impropri.

4. Serie.
Successioni numeriche; limiti di successioni. Serie numeriche: definizione; prime proprieta’ ed esempi; serie a termini positivi (criteri di convergenza); convergenza assoluta e convergenza semplice. Cenni sulle serie di potenze in campo reale. Polinomi di Taylor e formule di Taylor. Serie di Taylor; serie di Taylor di alcune funzioni elementari.

5. Equazioni differenziali.
Breve introduzione alle equazioni differenziali ordinarie; il problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti.

6. Calcolo differenziale in piu’ variabili reali.
Funzioni reali di piu’ variabili reali : rappresentazione grafica; limiti e continuita’. Derivate parziali, gradienti e derivate direzionali. Derivate di ordine superiore. Differenziabilita’. Derivazione parziale di funzioni composte. Cenni di calcolo differenziale per funzioni a valori vettoriali. Matrici jacobiane. Estremi relativi liberi di funzioni a valori reali: punti stazionari e loro classificazione.

7. Integrali multipli.
Integrali doppi : definizione e proprieta’ principali; applicazioni alla Geometria e alla Fisica. Calcolo degli integrali doppi : formule di riduzione; cambiamento di variabili; integrali doppi in coordinate polari. Cenni sugli integrali tripli.

8. Integrali di linea e integrali di superficie.
Curve in forma parametrica : definizione ; retta tangente; curve rettificabili e lunghezza d’ arco. Superfici in forma parametrica : prodotto vettoriale fondamentale e piano tangente; area di una superficie. Integrali di linea rispetto alla lunghezza d’ arco. Integrali di linea di campi vettoriali e applicazioni alla Fisica. Campi conservativi, potenziale e indipendenza dal percorso. Gli operatori rotore e divergenza. Integrali di superficie e applicazioni alla Fisica. I teoremi di Green e della divergenza nel piano. I teoremi di Stokes e della divergenza nello spazio.

Prerequisiti

Matematica : quelli richiesti per l’ immatricolazione alla Facolta’ .

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 120
Esercitazioni (ore/anno in aula): 0
Attività pratiche (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa. Matematica. Calcolo infinitesimale e Algebra lineare (seconda edizione). C.E. Zanichelli, Bologna, 2004. (Testo consigliato).

M. Bramanti, C.D. Pagani e S. Salsa. Analisi matematica 1 (prima edizione) e Analisi Matematica 2 (prima edizione) . C.E. Zanichelli, Bologna, 2008-2009. (Gli Studenti interessati possono far riferimento a questi ultimi due volumi per maggiori approfondimenti e complementi).

Modalità di verifica dell'apprendimento

L'esame e’ costituito da una prova scritta riguardante la risoluzione di esercizi e di quesiti di natura teorica. E` prevista una prova orale facoltativa a cui possono essere ammessi gli Studenti che superano la prova scritta durante la stessa sessione di esame.