Docente/i: Piero Colli Franzone  

Denominazione del corso: Sistemi dinamici: teoria e metodi numerici
Codice del corso: 502886
Corso di laurea: Bioingegneria
Sede: Pavia
Settore scientifico disciplinare: MAT/08
L'insegnamento è affine per: Bioingegneria
Crediti formativi: CFU 6
Sito web del corso: n.d.

Obiettivi formativi specifici

Il corso si propone di fornire allo studente le nozioni di base relative alle proprieta` qualitative ed al comportamento asintotico delle soluzioni di sistemi di equazioni differenziali ordinarie. Si forniscono inoltre allo studente le nozioni per un utilizzo critico dei principali metodi numerici per la simulazione quantitativa dei sistemi dinamici .

Programma del corso

Il corso costituisce una introduzione alla risolubilita` di problemi ai valori iniziali ed all'analisi delle proprieta` qualitative delle soluzioni e dei punti di equilibrio dei sistemi dinamici. Gli aspetti quantitativi sono sviluppati introducendo le principali tecniche numeriche per la risoluzione dei sistemi dinamici e loro applicazione a modelli di dinamica delle popolazioni ed a modelli bistabili.

Richiamo di nozioni di base
Spazi vettoriali, matrici, autovalori, equazioni differenziali lineari, calcolo differenziale, integrale e sviluppo di Taylor.

Introduzione ai problemi differenziali
Problemi ai valori iniziali (PVI), PVI in forma normale, probleimi ai limiti e differenziali-algebrici. Riduzione di un PVI ad un sistemi differenziale del primo ordine. Sistemi autonomi. Traiettorie, orbite. Risolubilitá di un problema ai valori iniziali . Esistenza locale di un PVI e prolungamento massimale. Esempi. Unicita`, esitenza globale e dipendenza continua dal dato iniziale. Dipendenza continua della soluzione dai paarmetri, sistema di sensitivita`. Formulazione integrale di un PVI.

Stabilita` asintotica
Stabilita` asintotica di una soluzione di un PVI. Stabilita` di punti di equilibrio. Sistemi lineari. Stabilita` di sistemi autonomi. Sistemi autonomi non lineari: stabilita` per linearizzazione. Punti iperbolici. Funzioni di Liapunov e stabilita`. Traiettorie periodiche e cicli limite. Sistemi autonomi di dimensione due:classificazione stabilita` punti di equilibrio e struttura orbite.

Nozioni di base di analisi numerica
Interpolazione polinomiale, formule di quadratura, metodo delle approssimazioni successive e metodo di Newton.

Metodi numerici per sistemi di equazioni differenziali ordinarie
Metodi ad un passo e metodi lineari Multistep: ordine, convergenza e stabilita`. Metodi di Runge-Kutta basti su quadrature o sul metodo di collocazione. Costruzione metodi multistep di: Adams Bashforth , Moulton , Predictor-Corrector e Backwords Differentiation Formulae (BDF). Stima dell'errore locale di discretizzazione e strategia adattativa per il controllo del passo di integrazione.

Introduzione alla teoria della biforcazione relativa a punti di equilibrio ed a cicli limite

Analisi e simulazione di sistemi dinamici: modelli di tipo Lotka-Volterra , modelli bistabili di FitzHigh-Nagumo.

Prerequisiti

I corsi di Matematica della laurea triennale

Tipologia delle attività formative

Lezioni (ore/anno in aula): 24
Esercitazioni (ore/anno in aula): 52
Attività pratiche (ore/anno in aula): 0

Materiale didattico consigliato

F. Verhulst. Nonlinear differential equations and dynamical systems.. Springer-Verlag,Heidelberg, 2006..

R. Mattheij, J. Molenaar. Ordinary differential equations in theory and practice.. SIAM, Philadelphia, 2002..

M. Crouzeix, A.L. Mignot.. Analyse Numèriques des Èquations Diffèrentielles. Masson, Paris 1984..

A.M. Stuart , A.R. Humphries. . Dynamical Systems and Numerical Analysis.. Cambridge University Press 1998..

A. Quarteroni, R. Sacco, F. Saleri. . Matematica Numerica.. Springer 3ra ed., 2008..

Modalità di verifica dell'apprendimento

Esame orale e discussione ed interpretazione dei risultati delle simulazioni sviluppate in laboratorio.